Algèbre linéaire Exemples

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 2 & 1 & 4 & 5 1 & 5 & 5 & 7 8 & 1 & 14 & 17 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & 4 & 5 \\ 1 & 5 & 5 & 7 \\ 8 & 1 & 14 & 17 \end{array}]$

Étape 1

Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Perform the row operation

R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}

$R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ to make the entry at

2, 1

$2, 1$ a

0

$0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Perform the row operation

R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}

$R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ to make the entry at

2, 1

$2, 1$ a

0

$0$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 2 - 2 \cdot 1 & 1 - 2 \cdot 2 & 4 - 2 \cdot 3 & 5 - 2 \cdot 4 1 & 5 & 5 & 7 8 & 1 & 14 & 17 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 - 2 \cdot 1 & 1 - 2 \cdot 2 & 4 - 2 \cdot 3 & 5 - 2 \cdot 4 \\ 1 & 5 & 5 & 7 \\ 8 & 1 & 14 & 17 \end{array}]$

Étape 1.1.2

Simplifiez

R_{2}

$R_{2}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 0 & - 3 & - 2 & - 3 1 & 5 & 5 & 7 8 & 1 & 14 & 17 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & - 3 & - 2 & - 3 \\ 1 & 5 & 5 & 7 \\ 8 & 1 & 14 & 17 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 0 & - 3 & - 2 & - 3 1 & 5 & 5 & 7 8 & 1 & 14 & 17 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & - 3 & - 2 & - 3 \\ 1 & 5 & 5 & 7 \\ 8 & 1 & 14 & 17 \end{array}]$

Étape 1.2

Perform the row operation

R_{3} = R_{3} - R_{1}

$R_{3} = R_{3} - R_{1}$ to make the entry at

3, 1

$3, 1$ a

0

$0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Perform the row operation

R_{3} = R_{3} - R_{1}

$R_{3} = R_{3} - R_{1}$ to make the entry at

3, 1

$3, 1$ a

0

$0$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 0 & - 3 & - 2 & - 3 1 - 1 & 5 - 2 & 5 - 3 & 7 - 4 8 & 1 & 14 & 17 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & - 3 & - 2 & - 3 \\ 1 - 1 & 5 - 2 & 5 - 3 & 7 - 4 \\ 8 & 1 & 14 & 17 \end{array}]$

Étape 1.2.2

Simplifiez

R_{3}

$R_{3}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 0 & - 3 & - 2 & - 3 0 & 3 & 2 & 3 8 & 1 & 14 & 17 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & - 3 & - 2 & - 3 \\ 0 & 3 & 2 & 3 \\ 8 & 1 & 14 & 17 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 0 & - 3 & - 2 & - 3 0 & 3 & 2 & 3 8 & 1 & 14 & 17 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & - 3 & - 2 & - 3 \\ 0 & 3 & 2 & 3 \\ 8 & 1 & 14 & 17 \end{array}]$

Étape 1.3

Perform the row operation

$R_{4} = R_{4} - 8 R_{1}$ to make the entry at

$4, 1$ a

$0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Perform the row operation

$R_{4} = R_{4} - 8 R_{1}$ to make the entry at

$4, 1$ a

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & - 3 & - 2 & - 3 \\ 0 & 3 & 2 & 3 \\ 8 - 8 \cdot 1 & 1 - 8 \cdot 2 & 14 - 8 \cdot 3 & 17 - 8 \cdot 4 \end{array}]$

Étape 1.3.2

Simplifiez

$R_{4}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & - 3 & - 2 & - 3 \\ 0 & 3 & 2 & 3 \\ 0 & - 15 & - 10 & - 15 \end{array}]$

Étape 1.4

Multiply each element of

$R_{2}$ by

$- \frac{1}{3}$ to make the entry at

$2, 2$ a

$1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1

Multiply each element of

$R_{2}$ by

$- \frac{1}{3}$ to make the entry at

$2, 2$ a

$1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 & 4 \\ - \frac{1}{3} \cdot 0 & - \frac{1}{3} \cdot - 3 & - \frac{1}{3} \cdot - 2 & - \frac{1}{3} \cdot - 3 \\ 0 & 3 & 2 & 3 \\ 0 & - 15 & - 10 & - 15 \end{array}]$

Étape 1.4.2

Simplifiez

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & \frac{2}{3} & 1 \\ 0 & 3 & 2 & 3 \\ 0 & - 15 & - 10 & - 15 \end{array}]$

Étape 1.5

Perform the row operation

$R_{3} = R_{3} - 3 R_{2}$ to make the entry at

$3, 2$ a

$0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.1

Perform the row operation

$R_{3} = R_{3} - 3 R_{2}$ to make the entry at

$3, 2$ a

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & \frac{2}{3} & 1 \\ 0 - 3 \cdot 0 & 3 - 3 \cdot 1 & 2 - 3 (\frac{2}{3}) & 3 - 3 \cdot 1 \\ 0 & - 15 & - 10 & - 15 \end{array}]$

Étape 1.5.2

Simplifiez

$R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & \frac{2}{3} & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 15 & - 10 & - 15 \end{array}]$

Étape 1.6

Perform the row operation

$R_{4} = R_{4} + 15 R_{2}$ to make the entry at

$4, 2$ a

$0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.6.1

Perform the row operation

$R_{4} = R_{4} + 15 R_{2}$ to make the entry at

$4, 2$ a

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & \frac{2}{3} & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 + 15 \cdot 0 & - 15 + 15 \cdot 1 & - 10 + 15 (\frac{2}{3}) & - 15 + 15 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 1.6.2

Simplifiez

$R_{4}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & \frac{2}{3} & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 1.7

Perform the row operation

$R_{1} = R_{1} - 2 R_{2}$ to make the entry at

$1, 2$ a

$0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.7.1

Perform the row operation

$R_{1} = R_{1} - 2 R_{2}$ to make the entry at

$1, 2$ a

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 2 \cdot 0 & 2 - 2 \cdot 1 & 3 - 2 (\frac{2}{3}) & 4 - 2 \cdot 1 \\ 0 & 1 & \frac{2}{3} & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 1.7.2

Simplifiez

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{5}{3} & 2 \\ 0 & 1 & \frac{2}{3} & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 2

The pivot positions are the locations with the leading

$1$ in each row. The pivot columns are the columns that have a pivot position.

Pivot Positions:

$a_{11}$ and

$a_{22}$

Pivot Columns:

$1$ and

$2$

Étape 3

The rank is the number of pivot columns.

$2$